4.2a 프로젝션(사영) – z축, xy평면

$z$축과 $xy$평면으로의 프로젝션(projection)은 아주 기본적인 프로젝션의 예입니다. 어떤 벡터 $b$를 $z$축 또는 $xy$평면으로 프로젝션 하면 $b$의 $z$성분 또는 $x$, $y$ 성분을 골라내는 것과 같습니다. 이번 포스팅에서는 기본적인 예를 통해 프로젝션과 프로젝션 행렬을 배워보겠습니다.

 

벡터의 성분 나누기

프로젝션을 이해하기 위해선 벡터가 어떤 성분들로 나뉠 수 있다는 것을 알아야 합니다.
 
전 포스팅에 이어서 행공간과 영공간의 예를 보겠습니다.
다음 행렬 $A$와 벡터 $x$가 있습니다.

$A$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array} \end{pmatrix}$, $x$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$.

그러면 $x$는 다음과 같이 행공간 성분과 영공간 성분으로 나눌 수 있습니다. 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 4 \end{array} \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ -1 \end{array} \end{pmatrix}$.  

 

프로젝션 행렬

위에서 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 4 \end{array} \end{pmatrix}$는 행공간의 성분입니다.

그리고 프로젝션은 위처럼 구해진 어떤 공간의 성분이나 그 연산과정을 의미합니다.

즉, $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 4 \end{array} \end{pmatrix}$는 행공간으로의 프로젝션입니다.

위 예에서 행공간은 1차원 직선, 영공간은 그에 수직한 2차원 평면입니다.
그런데 이와 비슷하지만, 좀 더 심플한 예가 있습니다.
바로 $z$축, $xy$평면의 예입니다. 

1) $z$축으로의 프로젝션 $p_{z}$
어떤 벡터의 $z$축으로의 프로젝션 $p_{z}$는 벡터의 $z$ 성분만 남기게 됩니다.

예를 들어 벡터 $b$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$있다고 하면,

$p_{z}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

$b$의 $z$축으로의 프로젝션 $p_{z}$는 아래와 같이 그릴 수 있습니다.

 
2) $xy$평면으로의 프로젝션 $p_{xy}$
$p_{xy}$는 벡터의 $x$, $y$ 성분만 남게 됩니다.

$b$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \end{pmatrix}$의 $p_{xy}$는 $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

위 두 경우의 프로젝션 행렬은 각각

$P_{z}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$, 

$P_{xy}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix}$입니다.

여기서 행렬은 대문자 $P$로 썼습니다.

그러면 다음 관계를 확인할 수 있습니다.

$p_{z}$ = $P_{z}b$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \end{pmatrix}$. 

마찬가지로, $p_{xy}$ = $P_{xy}b$.

다음 시간에는 일반적인 직선으로의 프로젝션을 알아보겠습니다.