2.4 행렬 연산의 규칙 (2) - 블록행렬(block matrix)

이번에는 행렬 곱의 규칙을 좀 더 알아본다. 또한 블록행렬(block matrix)에 대해서도 이야기해보겠습니다. 행렬을 블록으로 나누어 연산을 수행하면 사이즈가 큰 행렬의 연산이 용이해질 수 있습니다.

 

행렬의 거듭제곱

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행렬 곱의 결합 법칙 $A(BC) = (AB)C$에서 $A = B = C$ 인 정방행렬(square matrix)의 특별한 경우를 가정하겠습니다.

그러면 $ABC = AAA = (AA)A = A(AA) = A^{2}A = AA^{2} = A^{3}$.

 

이런 방식으로, 행렬의 거듭제곱을 계산할 수 있습니다.
$A^{p} = AAA…A$ ($p$ factors)
$(A^{p})(A^{q})$ = $A^{p+q}$
$(A^{p})^{q}$ = $A^{pq}$

 

지수가 –1 이면, A의 역행렬($A^{-1}$)을 의미합니다.
따라서 $AA^{-1}$ = $A^{-1}A$ = $A^{0}$ = $I$. 
즉, 지수가 0이면 단위행렬입니다.

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블록행렬 (block matrix) & 블록 곱하기

다음과 같은 4 × 6 행렬이 있습니다.

 

$A$ = $\left(\begin{array}{c|c|c} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \\ \hline \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \end{array}\right)$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} I & I & I \\ I & I & I \end{array} \end{pmatrix}$

 

이 행렬은 모두 2 × 2 단위행렬인 6개의 블록으로 나눌 수 있습니다.
따라서 $A$는 2 × 3 블록 행렬이 됩니다.

 

두 블록행렬이 있을 때, 행과 열의 수 그리고 블록 크기가 일치하면 두 블록행렬을 더할 수 있습니다.
앞서 배운 첨가행렬([$A$ $b$])은 블록 $A$와 $b$의 블록행렬로 볼 수 있습니다.

또한 아래와 같이 $A$의 블록이 $B$의 블록을 곱할 수 있는 경우 블록 곱셈도 가능합니다.

 

$\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array} \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} \begin{array}{r} B_{11} \\ B_{21} \end{array} \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{r} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} \end{array} \end{pmatrix}$

 

행렬 $A$의 각각의 열들을 블록, 행렬 $B$의 각 행을 블록이라고 하면, 다음과 같이  $A$와 $B$를 곱할 수 있습니다. 

 

$\begin{bmatrix} \begin{array}{ccc} | & & | \\ 1열 & {\cdots} & n열 \\ | & & | \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{ccc} - & 1행 & - \\ &{\cdots} & \\ - & n행 & - \end{array} \end{bmatrix}$ = (1열)·(1행) + ${\cdots}$ + ($n$열)·($n$행).

 

이것은 전 시간에 배운 행렬 곱셈의 네 번째 방법입니다. 
예를 들면,

 

$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 3 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 2 & 0 \end{array} \end{bmatrix}$

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블록 소거법

블록행렬에도 소거법을 사용할 수 있습니다.
다음 식은 블록행렬을 소거하는 소거행렬을 보여줍니다.

 

$\left(\begin{array}{c|c} I & 0 \\ \hline -CA^{-1} & I \end{array}\right)$$\left(\begin{array}{c|c} A & B \\ \hline C & D \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c|c} A & B \\ \hline 0 & D -CA^{-1}B \end{array}\right)$

 

다음 3 × 3 행렬을 2 × 2 블록행렬로 만들고 위 식을 적용하겠습니다.
$\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & x & x \\ 3 & x & x \\ 4 & x & x \end{array} \end{pmatrix}$.

다음과 같이 네 개의 블록으로 나누면,

 

$\left(\begin{array}{c|c} 1 & \begin{matrix} x & x \end{matrix} \\ \hline 3 & \begin{matrix} x & x \end{matrix} \\ 4 & \begin{matrix} x & x \end{matrix} \end{array}\right)$

 

소거행렬은 $E$ = $\left(\begin{array}{c|c} I & 0 \\ \hline -\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}(1)^{-1} & I \end{array}\right)$ = $\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{array} \end{pmatrix}$이 됩니다.