2.4 행렬 연산의 규칙 (1)

행렬 방정식은 선형 대수학의 핵심이라고 할 수 있습니다. 행렬 방정식을 잘 다루기 위해서는 행렬 연산의 규칙을 알아야 합니다. 행렬의 교환 법칙(commutative law), 분배 법칙(distributive law), 결합 법칙(associative law) 등을 알아보겠습니다.

 

행렬의 곱

다음과 같은 행렬의 곱을 생각해보겠습니다.
$A_{m{\times}n}B_{n{\times}p}$ = $C_{m{\times}p}$.

 

여기서 $m{\times}n$은 행렬이 $m$개의 행, $n$개의 열로 이루어졌다는 의미입니다.

 

주의해서 볼 점은 $A$의 열 개수와 $B$의 행 개수는 같다는 것입니다.
그리고 곱셈의 결과 $m{\times}p$ 행렬 $C$가 만들어집니다.

 

다음 식을 보면, 행과 열의 개수의 관계를 이해할 수 있습니다.
곱셈 $AB$ = $C$에서, 

$C$의 $i$행, $j$열의 성분은 $C_{ij}$ = ($A$의 $i$행)·($B$의 $j$열)입니다.

 

$A$의 모든 행은 $A$의 열의 개수만큼 성분을 갖습니다.
그리고 $B$의 모든 열은 $B$의 행의 개수만큼 성분을 갖습니다. 
따라서 $A$의 열 개수와 $B$의 행 개수가 같아야 행렬들의 곱이 가능합니다.

 

$C$가 $m{\times}p$ 행렬이 되는 것도 이해가 됩니다.

 

다음 예를 보면 이해가 더 쉽습니다.

 

(3 × 1)(1 × 3) = (3 × 3)      $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$. 

반대로, 
(1 × 3)(3 × 1) = (1 × 1)      $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{bmatrix}$ = [3].

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행렬의 곱 $AB$ = $C$는 여러 방법으로 계산할 수도 있습니다.

첫 번째는, 위에서 언급한 $C_{ij}$ = ($A$의 $i$행)·($B$의 $j$열).

두 번째는, 행렬 $A$에 $B$의 모든 열을 곱하는 것입니다.
즉, $A$[$b_{1}$ … $b_{p}$] = [$Ab_{1}$ … $Ab_{p}$]. 여기서 $b_{1}$, …, $b_{p}$는 행렬 $B$의 열들입니다.

세 번째는, $A$의 $i$행 곱하기 행렬 $B$는 $AB$의 $i$행입니다.
즉, [$A$의 $i$행]$B$ = [$AB$의 $i$행]. 

네 번째는, $A$의 열과 $B$의 행을 곱합니다.

 

즉, $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1열 & 2열 & 3열 \\ {\cdot} & {\cdot} & {\cdot} \\ {\cdot} & {\cdot} & {\cdot} \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1행 & {\cdot} & {\cdot} \\ 2행 & {\cdot} & {\cdot} \\ 3행 & {\cdot} & {\cdot} \end{array} \end{bmatrix}$ = (1열)·(1행) + (2열)·(2행) + (3열)·(3행).

다음 2 × 2 예를 보겠습니다.

 

$AB$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} E & F \\ G & H \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} aE + bG & aF + bH \\ cE + dG & cF + dH \end{array} \end{bmatrix}$.

 

이것은 다음과 같은 다른 방법으로 쓸 수 있습니다.

 

$AB$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} a \\ c \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} E & F \end{array} \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} b \\ d \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} G & H \end{array} \end{bmatrix}$.

 

이것은 계산하면, $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} aE & aF \\ cE & cF \end{array} \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} bG & bH \\ dG & dH \end{array} \end{bmatrix}$.

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행렬 연산의 법칙

행렬의 연산에는 다음과 같은 법칙들이 있습니다.

 

덧셈의 법칙

 

$\begin{matrix} \begin{array}{rrrlr} 1. & A + B & = & B + A & (교환 법칙) \\ 2. & c(A + B) & = & cA + cB & (분배 법칙) \\ 3. & A + (B + C) & = & (A + B) + C & (결합 법칙) \end{array} \end{matrix}$.


곱셈의 법칙

 

$\begin{matrix} \begin{array}{rrrlr} 1. & A(B + C) & = & AB + AC & (좌분배 법칙) \\ 2. & (A + B)C & = & AC + BC & (우분배 법칙) \\ 3. & A(BC) & = & (AB)C & (결합 법칙) \end{array} \end{matrix}$

 

주의할 점은, 곱셈의 교환 법칙은 항상 참은 아닙니다.
즉, $AB$ ≠ $BA$.

 

예를 들면, $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \end{bmatrix}$ ≠ $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \end{bmatrix}$  = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \end{bmatrix}$.

 

다음 시간에는 행렬 연산의 예를 더 살펴보고, 블록행렬(block matrix)에 대해 알아보겠습니다.