2.3 행렬에 소거법 적용하기

1차 연립 방정식은 행렬 방정식으로 쓸 수 있습니다. 소거법으로 연립 방정식의 미지수들을 제거하여 상부 삼각형 형태를 만든 것처럼, 소거법으로 상부 삼각형 행렬(upper triangular matrix)을 만들면 문제를 쉽게 풀 수 있습니다. 이와 관련해 소거행렬 알아보겠습니다.

 

행렬 방정식 $Ax = b$.

 

$\begin{matrix} \begin{array}{rrrrrrrr} 2x_{1} & + & 4x_{2} & - & 2x_{3} & = & 2 & (eq. 1) \\ 4x_{1} & + & 9x_{2} & - & 3x_{3}& = & 8 & (eq. 2) \\ -2x_{1} & - & 3x_{2} & + & 7x_{3} & = & 10 & (eq. 3) \end{array} \end{matrix}$

 

위 연립 방정식은 다음과 같은 행렬 방정식으로 쓸 수 있습니다.

 

$Ax$ = $b$: $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 4 & -2 \\ 4 & 9 & -3 \\ -2 & -3 & 7 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{r} 2 \\ 8 \\ 10 \end{array} \end{bmatrix}$

행렬 방정식이 연립 방정식과 동일하기 때문에 똑같은 소거 과정을 진행합니다.
연립 방정식의 소거를 다시 생각해 보면,
첫 번째 단계는 2번 방정식에서 2 × 1번 방정식을 빼줍니다. 
그러면 2번 방정식의 $4x_{1}$이 제거됩니다. 

 

이 과정은 행렬에서는 2번 행의 4가 0이 되는 것입니다. 
즉, 행렬 $A$의 2번 행, 1열의 성분 ($a_{21}$으로 쓴다)을 0으로 만듭니다.

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소거행렬

이 제거 과정을 해줄 수 있는 소거행렬($E$)은 

 

$E$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$입니다.

 

소거행렬을 $A$에 곱하여 확인할 수 있습니다: 

 

$EA$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 4 & -2 \\ 4 & 9 & -3 \\ -2 & -3 & 7 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & -3 & 7 \end{array} \end{bmatrix}$

소거행렬은 단위행렬 $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$에서 0으로 만들고자 하는 성분의 자리에 –$l$로 바꿔줍니다. 

 

여기서 $l$은 multiplier입니다.

 

다시 말하면, 위의 소거행렬은 $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -l & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$인데, 

 

multiplier가 2이므로 $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$가 된 것입니다.

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다음은 3행 1열의 성분($a_{31}$ = –2)을 0으로 만드는 소거행렬을 찾아보겠습니다. 

 

행렬의 첫 번째 피벗은 2, 제거하려는 성분 $a_{31}$은 –2.

 

따라서 multiplier는 $a_{31}$/첫 번째 피벗 = –2/2 = –1. 

 

우리가 찾는 소거행렬은 $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -l & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$이 됩니다.

 

각 소거 단계마다 대응되는 소거행렬들이 있어, 구분하기 위해 $E_{31}$과 같이 제거하는 성분의 행과 열을 첨자로 합니다.

 

다시 소거행렬 $E_{31}$을 곱해주면 $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -l & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & -3 & 7 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{array} \end{bmatrix}$.

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이제 마지막으로 3행 2열의 성분의 소거행렬 $E_{32}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -l & 1 \end{array} \end{bmatrix}$를 찾으면,

 

이때 multiplier는 $a_{32}$/두 번째 피벗 = 1입니다.

 

따라서 $E_{32}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$입니다.

 

다시 이 소거행렬을 곱하여 다음과 같은 상부 삼각 행렬을 얻습니다.

 

$\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{array} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \end{bmatrix}$ 

 

위의 전체 소거 과정은 $E_{32}E_{31}E_{21}Ax$ = $E_{32}E_{31}E_{21}b$입니다.

 

치환행렬과 첨가행렬은 다음 포스팅에서 알아보도록 하겠습니다.